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Correction

Partie A

Pour tout \(\omega \in \mathbb{U}_n, f(\omega) \in \mathbb{U}_n \subset \mathbb{U}\) donc \(|f(\omega)|=1\) ce qui se traduit par \(|a \omega+b|=|c \omega+d|\).
1. Développons en utilisant le conjugué. Pour tous \(z, z^{\prime} \in \mathbb{C}\),
  \[ \left|z+z^{\prime}\right|^2=\left(z+z^{\prime}\right)\left(\bar{z}+\overline{z^{\prime}}\right)=|z|^2+\left|z^{\prime}\right|^2+z \overline{z^{\prime}}+z^{\prime} \bar{z} \]
  On peut encore écrire cette identité sous la forme
  \[ \left|z+z^{\prime}\right|^2=|z|^2+\left|z^{\prime}\right|^2+2 \mathfrak{Re}\left(z \overline{z^{\prime}}\right) \]
2. D’après la question 1, pour tout \(\omega \in \mathbb{U}_n,|a \omega+b|^2=|c \omega+d|^2\) soit, en développant
  \[ |a|^2+|b|^2-|c|^2-|d|^2=2 \mathfrak{Re}((c \bar{d}-a \bar{b}) \omega) \]
  En additionnant toutes ces relations et en utilisant la linéarité de \(\mathfrak{Re}\), on obtient que
  \[ n\left(|a|^2+|b|^2-|c|^2-|d|^2\right)=2 \mathfrak{Re}\left((c \bar{d}-a \bar{b}) \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega\right)=0 . \]
  Ainsi, \(|a|^2+|b|^2=|c|^2+|d|^2\) et par conséquent, \(\mathfrak{Re}((c \bar{d}-a \bar{b}) \omega)=0\) pour tout \(\omega \in \mathbb{U}_n\). En utilisant tour à tour les valeurs \(\omega=1\) et \(\omega=e^{\frac{2 i \pi}{n}}\), on obtient que \(\mathfrak{Re}(c \bar{d}-a \bar{b})=0\) puis \(\mathfrak{Im}(c \bar{d}-a \bar{b})=0\). En conclusion, \(a \bar{b}=c \bar{d}\).
3. D’après la question précédente, \(|c|^2+|d|^2=|a|^2+|b|^2\) et \(|c|^2|d|^2=|c \bar{d}|^2=|a \bar{b}|^2=|a|^2|b|^2\). Connaissant somme et produit, on en déduit que \(|c|^2\) et \(|d|^2\) sont solutions de l’équation
  \[ z^2-\left(|a|^2+|b|^2\right) z+|a|^2|b|^2=0 . \]
4. Les solutions de l’équation précédente sont \(|a|^2\) et \(|b|^2\) donc
  \[ \left\{|a|^2,|b|^2\right\}=\left\{|c|^2,|d|^2\right\} \]
  Comme les modules sont positifs, on en déduit \(\{|a|,|b|\}=\{|c|,|d|\}\) ce qui est la condition recherchée dans l’énoncé.
En reportant dans la relation \(a \bar{b}=c \bar{d}\) et en simplifiant par \(c \neq 0\), on obtient \(e^{i \theta} \bar{b}=\bar{d}\) donc \(b=d e^{i \theta}\). Par conséquent, \(f: z \mapsto e^{i \theta}\).
1. Par hypothèse \(|a|=|\bar{d}|\) donc \(d \neq 0\) et \(|a / d|=1\). Ainsi, il existe \(\theta \in \mathbb{R}\) tel que \(a=\bar{d} e^{i \theta}\).
2. Une nouvelle fois, on reporte dans la relation \(a \bar{b}=c \bar{d}\) et on simplifie pour obtenir \(b=\bar{c} e^{i \theta}\). Alors \(f\) est de la forme
  \[ z \mapsto e^{i \theta} \frac{\bar{d} z+\bar{c}}{c z+d} . \]
Il est clair que \(f z \mapsto e^{i \theta}\) stabilise \(\mathbb{U}\). Supposons dorénavant que \(f\) est de la forme obtenue à la question 4b. Alors, pour tout \(z \in \mathbb{U}\) dans le domaine de définition de \(f\) :
\[ \left|e^{i \theta}(\bar{d} z+\bar{c})\right|=|\bar{d} z+\bar{c}|=|d \bar{z}+c|=\frac{1}{|z|}|d+c z|=|d+c z| . \]
En conclusion, \(f(\mathbb{U})=\mathbb{U}\).

Partie B

Par définition de stabilisation, pour tout \(\omega \in \mathbb{U}_n, f(\omega)^n=1\) donc \(e^{i n \theta}(a \omega+b)^n=(\bar{b} \omega+\bar{a})^n\).
Calculons avec la formule du binôme, le théorème de Fubini et la question précédente :
\[ \begin{aligned} \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega(a \omega+b)^n & =\sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega \sum_{k=0}^n\binom{n}{k} a^k b^{n-k} \omega^k \\ & =\sum_{k=0}^n\binom{n}{k} a^k b^{n-k} \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega^{k+1} \\ & =a^{n-1} b \end{aligned} \]
De même,
\[ \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega(\bar{b} \omega+\bar{a})^n=\bar{a} \bar{b}^{n-1} \]
Avec l’identité de la question 1, on obtient \(b a^{n-1} e^{i n \theta}=\bar{a} \bar{b}^{n-1}\).
En passant au module dans la question précédente, on obtient \(|a|^{n-1}|b|=|a||b|^{n-1}\) donc \(|a|^{n-2}=|b|^{n-2}\). Comme les modules sont positifs, \(|a|=|b|\).
Notons \(a=e^{i \varphi} b\) avec \(\varphi \in \mathbb{R}\). Alors \(f\) est de la forme
\[ z \mapsto e^{i \theta} \frac{e^{i \varphi} z+1}{z+e^{-i \varphi}}=e^{i(\theta+\varphi)} \]