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Dans ce sujet, on étudie des applications \( f: \mathbb{U}_n \rightarrow \mathbb{C} \) stabilisant \( \mathbb{U}_n \), c’est-à-dire telles que \( f(\mathbb{U}_n) \subset \mathbb{U}_n \).

1. Déterminer, pour chacune des applications \( f \) suivantes, les valeurs de l’entier \( n \geq 3 \) pour lesquelles \( f(\mathbb{U}_n) \subset \mathbb{U}_n \):
   1. \( f_1: z \mapsto \bar{z} \)
   2. \( f_3: z \mapsto j z \)
   3. \( f_5: z \mapsto i \)
   4. \( f_2: z \mapsto 1+z \)
   5. \( f_4: z \mapsto \frac{1}{z} \)
   6. \( f_6: z \mapsto z^3 \)
2. Reprendre la question précédente avec la condition \( f(\mathbb{U}_n) = \mathbb{U}_n \).

On fixe désormais \( n \geq 3 \) et on se limite à certaines fonctions homographiques, c’est-à-dire aux fonctions de la forme

\[ z \mapsto \frac{a z + b}{c z + d} \]

avec \( a, b, c \) et \( d \) des complexes tels que \( c \omega + d \neq 0 \) pour tout \( \omega \in \mathbb{U}_n \).

3. Justifier que, pour tout \( \omega \in \mathbb{U}_n, |a \omega + b| = |c \omega + d| \).
4. 1. Retrouver l’identité remarquable \( |z + z’|^2 \) pour \( z, z’ \in \mathbb{C} \).
   2. Montrer que \( |a|^2 + |b|^2 = |c|^2 + |d|^2 \) et \( a \bar{b} = c \bar{d} \).
      Indication : on pourra utiliser la question 1 et utiliser que la somme des éléments de \( \mathbb{U}_n \) vaut 0.
   3. En déduire que \( |c|^2 \) et \( |d|^2 \) sont solutions de l’équation \( z^2 – (|a|^2 + |b|^2) z + |a|^2 |b|^2 = 0 \).
   4. Conclure que \[ \left\{ \begin{array}{l} |a| = |c| \\ |b| = |d| \end{array} \quad \text{ou} \quad \left\{ \begin{array}{l} |a| = |d| \\ |b| = |c| \end{array} \right. \right. \]
5. Supposons \( |a| = |c| \) et considérons \( \theta \in \mathbb{R} \) tel que \( a = c e^{i \theta} \). Montrer que \( b = d e^{i \theta} \) puis en déduire \( f \).
6. Supposons \( |a| = |d| \).
   1. Montrer qu’il existe \( \theta \in \mathbb{R} \) tel que \( a = \bar{d} e^{i \theta} \). Fixons ce réel \( \theta \).
   2. Montrer que \( b = \bar{c} e^{i \theta} \) puis en déduire la forme de l’application \( f \).
7. Vérifier que l’application \( f \) stabilise \( \mathbb{U} \).

On considère dorénavant une application

\[ f: z \mapsto e^{i \theta} \frac{a z + b}{\bar{b} z + \bar{a}} \]

avec \( a, b \in \mathbb{C} \setminus \{0\} \) et on suppose qu’elle stabilise \( \mathbb{U}_n \).

8. Montrer que, pour tout \( \omega \in \mathbb{U}_n, e^{i n \theta} (a \omega + b)^n = (\bar{b} \omega + \bar{a})^n \).
9. On admet que, pour tout \( k \in \mathbb{Z} \), \[ \sum_{\omega \in \mathbb{U}_n} \omega^k = \begin{cases} n & \text{si } n \text{ divise } k \\ 0 & \text{sinon} \end{cases} \] En déduire que \( b a^{n-1} e^{i n \theta} = \bar{a} \bar{b}^{n-1} \).
10. Conclure que \( |a| = |b| \).
11. Déterminer \( f \).