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Les deux parties de ce problème sont indépendantes.

Le but de cette première partie est de démontrer, de deux manières différentes, que :

1. Démontrer (1) en procédant par récurrence sur l’entier \( n \).
2. Méthode 2 : en utilisant la formule du triangle de Pascal généralisée
   1. Soit \( k \in \mathbb{N} \). Démontrer que : \[ \forall \ell \in \{ 0, \ldots, k \}, \quad \binom{k}{\ell} = \binom{k+1}{\ell+1} – \binom{k}{\ell+1} \]
   2. Soient \( \ell, n \in \mathbb{N} \) tels que \( \ell \leqslant n \). Montrer que : \[ \sum_{k=\ell}^n \binom{k}{\ell} = \binom{n+1}{\ell+1} \] Cette égalité s’appelle formule du triangle de Pascal généralisée.
   3. Soit \( k \in \mathbb{N} \). Expliciter les coefficients binomiaux \( \binom{k}{1} \), \( \binom{k}{2} \) et \( \binom{k}{3} \).
   4. En déduire qu’il existe \( a, b, c \in \mathbb{N} \) tels que : \[ \forall k \in \mathbb{N}, \quad k^3 = a\binom{k}{3} + b\binom{k}{2} + c\binom{k}{1} \]
   5. Retrouver alors (1).

Soit \( (a_{\ell})_{\ell \in \mathbb{N}} \) une suite de nombres réels. À partir de celle-ci, on définit une suite \( (b_k)_{k \in \mathbb{N}} \) par :

\[ \forall k \in \mathbb{N}, \quad b_k = \sum_{\ell=0}^k \binom{k}{\ell} a_{\ell} \]

L’objectif de cette partie est de trouver, pour tout \( n \in \mathbb{N} \), l’expression de \( a_n \) en fonction de \( b_0, \ldots, b_n \).

3. Soient \( n, k, \ell \in \mathbb{N} \) tels que \( \ell \leqslant k \leqslant n \). Montrer que : \[ \binom{n}{k} \binom{k}{\ell} = \binom{n}{\ell} \binom{n-\ell}{k-\ell} \]
4. Soient \( n, \ell \in \mathbb{N} \) tels que \( \ell \leqslant n \). On pose \( S_{n,\ell} = \sum_{k=\ell}^n (-1)^{k-\ell} \binom{n}{k} \binom{k}{\ell} \). En utilisant la question précédente puis un changement d’indice, montrer que : \[ S_{n,\ell} = \begin{cases} 0 & \text{si } \ell < n \\ 1 & \text{si } \ell = n \end{cases} \]
5. Application.

   On considère la suite \( (x_n)_{n \in \mathbb{N}} \) définie par \( x_0 = 1 \) et :

   \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad x_{n+1} = (n+1) x_n + (-1)^{n+1} \]
   1. À l’aide d’un raisonnement par récurrence, montrer que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad n! = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x_k \]
   2. En déduire que : \[ \forall n \in \mathbb{N}, \quad x_n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!} \]