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1. Soient \( (a_1, a_2, \ldots, a_n) \) et \( (b_1, b_2, \ldots, b_n) \) deux listes constituées de réels qui sont tous strictement positifs.
   1. En posant \( f(x) = \sum_{k=1}^n (a_k x + b_k)^2 \), expliquer pourquoi \( f \) est un polynôme de degré 2.
   2. Calculer le discriminant du polynôme précédent. Que peut-on dire de son signe?
   3. En déduire l’inégalité de Cauchy-Schwartz : \[ \sum_{k=1}^n a_k b_k \leqslant \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2} \]
   4. Vérifier que l’inégalité est en fait une égalité si \( \forall k \in \{1,2, \ldots, n\}, b_k = a_k \). Déterminer ensuite une condition nécessaire et suffisante pour que l’inégalité de Cauchy-Schwartz soit une égalité.
2. On garde les mêmes hypothèses que dans la question précédente et on pose \( m = \min_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{a_k}{b_k} \) et \( M = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} \frac{a_k}{b_k} \).
   1. Montrer que \[ \sum_{k=1}^n a_k^2 + m M \sum_{k=1}^n b_k^2 \leqslant (m + M) \sum_{k=1}^n a_k b_k \]
   2. Montrer que, si \( x \) et \( y \) sont deux réels positifs, \( \sqrt{x y} \leqslant \frac{x + y}{2} \).
   3. En déduire que \[ \sqrt{\sum_{k=1}^n a_k^2} \sqrt{\sum_{k=1}^n b_k^2} \leqslant \frac{m + M}{2 \sqrt{m M}} \sum_{k=1}^n a_k b_k \]
3. On ne considère maintenant plus qu’une série de réels strictement positifs \( (c_1, c_2, \ldots, c_n) \).
   1. Montrer que, si \( k \leqslant n \), on a \[ \sum_{i=1}^k c_i \times \sum_{i=1}^k \frac{i^2}{c_i} \geqslant \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 \] (on a bien sûr le droit d’utiliser les questions précédentes).
   2. En déduire l’inégalité \[ \sum_{k=1}^n \frac{k}{c_1 + c_2 + \cdots + c_k} \leqslant 4 \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{c_i} \sum_{k=i}^n \frac{1}{k(k+1)^2} \]
   3. Montrer que, pour tout entier \( k \in \mathbb{N}^* \), \[ \frac{2}{k(k+1)^2} \leqslant \frac{1}{k^2} – \frac{1}{(k+1)^2} \]
   4. En déduire que \[ \sum_{k=i}^n \frac{1}{k(k+1)^2} \leqslant \frac{1}{2 i^2} \]
   5. Conclure en démontrant l’inégalité de Hardy : \[ \sum_{k=1}^n \frac{k}{c_1 + c_2 + \cdots + c_k} \leqslant 2 \sum_{k=1}^n \frac{1}{c_k} \]
   6. Que donne cette inégalité lorsque tous les nombres \( c_i \) sont égaux?
   7. En admettant que \( \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} = +\infty \), montrer qu’on ne peut pas obtenir une meilleure constante que 2 à droite de l’inégalité de Hardy (on pourra poser \( c_k = k \)).