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Problème – Nombres Complexes
CPGE: Lycée Mohamed V Casablanca
Professeur: Y.Hdach
Filière: MPSI
yassinhdach@gmail.com
Problème
  1. Soit \( z_1, z_2 \in \mathbb{C}^* \). Montrer que \( z_1 \) et \( z_2 \) ont mêmes arguments si et seulement si \( \overline{z_1} z_2 \in \mathbb{R}_{+} \).
    1. Montrer que pour tous nombres complexes \( z_1 \) et \( z_2 \), \( \left|z_1+z_2\right| \leqslant |z_1| + \left|z_2\right| \), et que cette inégalité est une égalité si et seulement si \( \overline{z_1} z_2 \in \mathbb{R}_{+} \).
    2. Soit \( n \geqslant 2 \) un entier, \( z_1, \ldots, z_n \) des nombres complexes. Montrer :
      \[ \left|z_1+\cdots+z_n\right| \leqslant \left|z_1\right| + \cdots + \left|z_n\right| \]
    3. Montrer que l’inégalité ci-dessus est une égalité si et seulement si pour tous \( i, j \in \{ 1,…, n \} \), \( \overline{z}_i z_j \in \mathbb{R}_{+} \).
  3. Soit \( n \geqslant 2 \) un entier, \( z_1, \ldots, z_n \) des nombres complexes tous non nuls. Pour tout \( k \in \{ 1,…, n \} \), on pose \( a_k = \frac{z_k}{|z_k|} \), et on suppose que \( a_1 + \cdots + a_n = 0 \).
    1. Pour tout \( z \in \mathbb{C} \), on pose
      \[ S(z) = \overline{a}_1\left(z_1-z\right) + \cdots + \overline{a}_n\left(z_n-z\right) \]
      Montrer que \( S(z) \) est un nombre réel positif indépendant de \( z \), que l’on précisera en fonction de \( z_1, \ldots, z_n \).
    2. En déduire que, pour tout nombre complexe \( z \) :
      \[ (\star): \quad \left|z_1\right| + \cdots + \left|z_n\right| \leqslant \left|z-z_1\right| + \cdots + \left|z-z_n\right|. \]
    3. Montrer de plus que cette inégalité est une égalité si et seulement si parmi les complexes \( \overline{a}_1\left(z_1-z\right) \), …, \( \overline{a}_n\left(z_n-z\right) \) il y a ceux qui sont nuls et les autres ont le même argument.
    4. Déduire que cette inégalité est une égalité si et seulement si :
      \[ \forall 1\leq k\leq n, \quad \overline{a}_k\left(z_k-z\right) \in \mathbb{R}_{+} \]
  4. Dans cette question, on choisit, pour tout \( k \in \{ 1,…, n \} \), \( z_k = e^{2 i k \pi / n} \).
    1. Montrer que pour tout \( z \in \mathbb{C} \) :
      \[ n \leqslant \left|z_1-z\right| + \cdots + \left|z_n-z\right| \]
    2. En choisissant une bonne valeur de \( z \), en déduire l’encadrement :
      \[ \frac{n}{2} \leqslant \sum_{k=1}^n \sin \left(\frac{k \pi}{n}\right) \leqslant n \]
    3. En déduire :
      \[ \frac{n}{2} \leqslant \dfrac{\cos\left(\frac{\pi}{2 n}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{2 n}\right)} \leqslant n \]