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On considère \( n \in \mathbb{N}^* \) et on pose \( \omega = \exp \left( \frac{2i\pi}{n} \right) \).

1. Exprimer, pour \( m, k \) et \( p \) entiers naturels, la partie réelle de \( \left(1+\omega^k\right)^m \omega^{-k p} \) à l’aide de la fonction cosinus et des paramètres \( m, k \) et \( p \).
2. Résoudre l’équation d’inconnue \( p \in \mathbb{Z}, \omega^p = 1 \).
3. Pour tout \( r \in \mathbb{Z} \), posons
   \[ S_r = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \omega^k \right)^r \]
   Calculer \( S_r \) en fonction de \( n \in \mathbb{Z} \).
   Indication: (Il y a deux cas)

Soient \( a \) et \( b \) deux nombres complexes.

4. Calculer, en fonction de \( a, b \) et \( n \) uniquement, \( \sum_{k=0}^{n-1} \left( a + \omega^k b \right) \).
5. Montrer que
   \[ n|a| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \left| a + \omega^k b \right| \]
6. Montrer que
   \[ \sum_{k=0}^{n-1} \left| a + \omega^k b \right| = \sum_{h=0}^{n-1} \left| b + \omega^h a \right| \]
7. En déduire que
   \[ |a| + |b| \leqslant \frac{2}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \left| a + \omega^k b \right| \]

8. En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que, pour tout \( z \in \mathbb{C} \),
   \[ \sum_{k=1}^n \left( \omega^k + z \right)^n = n \left( z^n + 1 \right) \]
9. En appliquant la formule ci-dessus pour les valeurs \( z = 1 \) et \( z = -1 \), donner des expressions simples de
   \[ C = \sum_{k=1}^n (-1)^k \cos^n \frac{k \pi}{n} \quad S = \sum_{k=1}^n (-1)^k \sin^n \frac{k \pi}{n} \]

On considère une suite finie \( A = \left( a_0, a_1, \ldots a_{n-1} \right) \) d’éléments de \( \mathbb{C} \).

On lui associe la suite \( B = \left( b_0, b_1, \ldots b_{n-1} \right) \) d’éléments de \( \mathbb{C} \) vérifiant :

10. 1. Calculer \( \left( b_0, b_1, \ldots b_{n-1} \right) \) dans le cas où \( a_0 = a_1 = \cdots = a_{n-1} = 1 \).
    2. Calculer \( \left( b_0, b_1, \ldots b_{n-1} \right) \) dans le cas où \( a_0 = 1 \) et \( a_1 = \cdots = a_{n-1} = 0 \).
    3. Calculer \( \left( b_0, b_1, \ldots b_{n-1} \right) \) dans le cas où \( \forall k \in \{ 0,…, n-1 \}, a_k = \omega^k \).
11. Montrer que, pour tout \( k \in \{ 0,…, n-1 \} \),
    \[ a_k = \frac{1}{n} \sum_{h=0}^{n-1} b_h \omega^{-k h} \]